Общая схема исследования функции и исследования графика

Исследование функции целесообразно вести в определённой последовательности:

1)Найти область определения функции

- Область определения функции, это все значения которые может принимать X, такие чтобы можно было найти Y. Для того чтобы найти область определения функции, нужно исключить такие Х, при которых Y не имеет смысла (например при делении на ноль, корень квадратный из отрицательного числа, логарифм натуральный из отрицательного числа или нуля)

2)Найти точки пересечения графика с осями координат (если они есть)

- Точки пересечения с осями координат, это такие точки, в которых график проходит через ось OX или OY. Для того чтобы их найти, нужно подставить сначала X=0, а потом Y=0. Эти точки и будут точками пересечение с осями координат.

3)Найти интервалы знакопостоянства функции

- Интервалы знакопостоянства, это промежутки на которых Y больше нуля или меньше нуля. Если Y<0 при каких-либо X, то на таком промежутке функция отрицательна. Если Y>0 при каких-либо X, то на таком промежутке функция положительна. Если Y=0 при каких-либо X, то такие промежутки или точки называются нулями функции, которые мы рассматривали в пункте 2.

4)Выяснить является ли функция: чётной, нечётной, общего вида.

- функция является нечётной, если выполняется условие F(-x)=-F(x). Функция является чётной, если выполняется условие F(-x)=F(x). Если ни одно из условий не выполняется то функция не является ни чётной ни нечётной. ЗАМЕЧАНИЕ! Если область определения функции не симметрична относительно начала координат (точки О с координатами (0,0)) ,то нет смысла рассуждать о чётности функции.

5)Найти период функции.

- ЗАМЕЧАНИЕ! Если функция дробно-рациональная, то периода она не имеет.

6)Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции

- Интервалы монотонности, это промежутки на которых функция монотонно возрастает или монотонно убывает. Чтобы их найти нужно найти производную функции и прировнять её к нулю. Те точки в которых производная равна нулю разбивают график функции на промежутки. Если производная на данном промежутке больше нуля, то график функции возрастает, а если производная меньше нуля то график функции убывает.

7)Найти экстремумы функции

-

8)Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции

- интервалы выпуклости и вогнутости функции, показывают выпукла вверх или вогнута вниз функция на данном промежутке. Чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости функции нужно найти производную функции второго порядка.

9)Найти точки перегиба функции

- точки перегиба функции, это такие точки, в которых производная второго порядка равна нулю. Чтобы найти точки перегиба функции нужно найти производную функции второго порядка.

10)Найти асимптоты графика функции

- Вертикальные асимптоты проходят параллельно оси OY через точки разрыва. Для того чтобы определить является ли точка разрыва невертикальной асимптотой нужно найти правый и левый предел в этой точке, если они равны бесконечности (с любым знаком) то это асимптота. Невертикальные асимптоты находятся по формуле y=kx+b, где k равняется пределу от f(x)/x при X стремящемуся к бесконечности, а b равняется пределу от f(x)-kx при X стремящемуся к бесконечности.